Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Полное решение!

Ответ:

у наиб. = у(-2) = 13;     у наим. = у (-1) = 4

Объяснение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x⁴ - 2x² + 5

на заданном отрезке  [-2; 1/2]

Найдем значение функции на концах отрезка:

\displaystyle y(-2)=(-2)^4-2\cdot (-2)^2+5=16-8+5=\boxed {13}

\displaystyle y(\frac{1}{2} )=\left(\frac{1}{2} \right)^4-2\cdot \left(\frac{1}{2}\right )^2+5=\frac{1}{16}-\frac{1}{2} +5=-\frac{7}{16}+5= \boxed {4\frac{9}{16} }

Теперь найдем производную:

у' = 4x³ - 2 · 2x = 4x (x² - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)

Приравняем производную к нулю и найдем корни.

х = 0;     х = 1;     х = -1.

х = 1 - не входит в заданный промежуток.

Найдем у(0) и у(-1)

\displaystyle y(0)=\boxed {5};\\\\\displaystyle y(-1)=(-1)^4-2\cdot (-1)^2+5=1-2+5=\boxed {4}

Осталось из четырех полученных значений выбрать большее и меньшее.

у наиб. = у(-2) = 13;     у наим. = у (-1) = 4