Знайти загальний вигляд первісних функції f(x) = 1/sin^2 (5x + 1)

Ответ:

Загальний вигляд первісної функції f(x) = 1/sin^2(5x + 1) можна знайти шляхом обчислення відповідного інтегралу. Ось як це можна зробити:

∫(1/sin^2(5x + 1)) dx

Спростимо цей інтеграл, використовуючи тригонометричні тотожності. Спочатку введемо таке позначення:

u = 5x + 1

du = 5dx

dx = (1/5)du

Тоді інтеграл стає:

(1/5)∫(1/sin^2(u)) du

Зараз використовуємо тотожність 1/sin^2(u) = csc^2(u):

(1/5)∫csc^2(u) du

Тепер знаходимо цей інтеграл:

(1/5)(-cot(u)) + C

Тепер підставимо назад вираз для u:

(1/5)(-cot(5x + 1)) + C

Отже, загальний вигляд первісної функції f(x) = 1/sin^2(5x + 1) дорівнює:

-(1/5)cot(5x + 1) + C, де C - це константа інтегрування.