Докажите, что функция f является периодической: а) f (x) = 2-cos x; б) f (x) = tg 2x; в) f (x) = sin x+cos x; г) f (x) = 3 +sin^2 x

учитывая, что функции sin x и cos x определены на всей области действительных чисел и периодичны с периодом 2pi

так как f(x)= sinx+cosx тоже определена на области всех действильных чисел и

f(x+2pi)=sin (x+2pi)+cos (x+2pi)=sin x + cos x=f(x), то

f(x)= sinx+cosx периодична с периодом 2pi

так как f(x)=3+sin^2x тоже определена на области всех действильных чисел и

f(x+2pi)=3+sin^2 (x+2pi)=3+sin^2 x=f(x)

(прим. эта функция имеет даже меньший положительный период равный pi)

доказано

Удачи)

Ответ:

a) Для функции f(x) = 2 - cos x периодическое свойство может быть доказано, сравнивая значения функции в точках x и x+2π. Проверим:

f(x+2π) = 2 - cos(x+2π) = 2 - cos(x) = f(x)

Таким образом, функция f(x) = 2 - cos x является периодической с периодом 2π.

б) Функция f(x) = tg 2x не является периодической. Она монотонно возрастает со скоростью 2 раза быстрее, чем тангенс функции x. Единственный способ, по которому tg 2x будет иметь период, это если период функции x будет равен π (потому что tg x имеет период π). Однако, период этих функций не связан между собой, поэтому f(x) = tg 2x не является периодической.

в) Функция f(x) = sin x + cos x является периодической. Для того чтобы это доказать, сравним значения функции в точках x и x+2π:

f(x+2π) = sin(x+2π) + cos(x+2π) = sin(x) + cos(x) = f(x)

Таким образом, функция f(x) = sin x + cos x является периодической с периодом 2π.

г) Функция f(x) = 3 + sin^2 x не является периодической. Значение sin^2 x осциллирует между 0 и 1, но значение 3 добавлено к этому результату. Это значит, что функция f(x) будет повторяться через фиксированное количество повторений sin^2 x, но без явного периода. Таким образом, f(x) = 3 + sin^2 x не является периодической.