Выясните, является ли функция ? = ?? ? возрастающей на интервале (− 3?/2 ; − 9?/8). Ответ обоснуйте.

возрастающей на интервале (− 3?/2 ; − 9?/8).

Обоснование: Функция тангенса является периодической функцией с периодом ?. На каждом интервале вида (?? - ?/2, ?? + ?/2), где ? - целое число, функция тангенса является возрастающей. Это значит, что для любых двух точек ?1 и ?2 из этого интервала, таких что ?1 < ?2, значения функции ?(?1) и ?(?2) удовлетворяют неравенству ?(?1) < ?(?2).

Ваш интервал (− 3?/2 ; − 9?/8) полностью содержится в интервале (-5?/2, -3?/2), который является одним из таких интервалов, на которых функция тангенса возрастает. Следовательно, функция ? = ?? ? является возрастающей на интервале (− 3?/2 ; − 9?/8).

Чтобы определить знак производной, нам нужно рассмотреть знак выражения 1 / cos^2(?).

На интервале (− 3?/2 ; − 9?/8), cos^2(?) > 0 для всех значений ?, поскольку косинус является положительным на этом интервале. Следовательно, знаменатель 1 / cos^2(?) также всегда положительный.

Таким образом, производная ?' всегда положительна на интервале (− 3?/2 ; − 9?/8).

Из определения возрастающей функции следует, что если производная положительна на интервале, то функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция ? = ?? ? является возрастающей на интервале (− 3?/2 ; − 9?/8).