ДАЮ 100 БАЛІВ 1) Дано b>с. Порівняти: 1) b+1 і с+1; 5)C7 і b7; 2) b-13 і с-13; 6)-c21 і -b21; 3) 0,2с і 0,2b; 7) 5c і 5b ; 4) -3,7с і -3,7 b; 8)- 522b і - 522c. 2) Дано 4<х<9 і 5<у<11. Оцінити значення виразу: 1) х+у; 5) 2х+5у; 2) у-х; 6) 3у-3х; 3) ху; 7) 7x2y. 4) xy; Оцінити периметр прямокутника зі сторонами b і а, якщо 1,7< b<2,4 і 3,5<а<5,4. 4) Довести нерівність: (m-6)(m-8) < (m-7)2+ 5, для будь- яких значень змінної m; (a+1)(b+5)(c+2)(d+10) ≥ 160abcd, якщо a≥0, b≥0, c≥0, d≥0; x2- 12x + y2+ 8y + 100 > 0, для будь- яких значень змінних х і у.

Порівняння виразів:

b + 1 і с + 1:

Якщо b > c, то b + 1 > c + 1, оскільки до обох чисел додається 1.

b - 13 і с - 13:

Якщо b > c, то b - 13 > c - 13, оскільки від обох чисел віднімається 13.

0,2с і 0,2b:

Якщо b > c, то 0,2b > 0,2c, оскільки обидва числа множаться на 0,2 (або 1/5).

-3,7с і -3,7b:

Якщо b > c, то -3,7b > -3,7c, оскільки обидва числа множаться на -3,7.

C^7 і b^7:

Неможливо точно порівняти ці два вирази без конкретних числових значень b і c.

-c^21 і -b^21:

Неможливо точно порівняти ці два вирази без конкретних числових значень b і c.

5c і 5b:

Якщо b > c, то 5b > 5c, оскільки обидва числа множаться на 5.

-522b і -522c:

Якщо b > c, то -522b > -522c, оскільки обидва числа множаться на -522, а множник не впливає на порядок чисел.

Оцінка виразів для 4 < x < 9 і 5 < y < 11:

x + y:

Мінімальне значення x + y відбувається при x = 4 і y = 5, отже, x + y ≥ 4 + 5 = 9.

y - x:

Мінімальне значення y - x відбувається при x = 9 і y = 11, отже, y - x ≥ 11 - 9 = 2.

xy:

Максимальне значення xy відбувається при x = 9 і y = 11, отже, xy ≤ 9 * 11 = 99.

xу не має мінімального значення, оскільки може бути дуже маленьким навіть при невеликих x і y.

2x + 5y:

Мінімальне значення 2x + 5y відбувається при x = 9 і y = 5, отже, 2x + 5y ≥ 2 * 9 + 5 * 5 = 18 + 25 = 43.

3y - 3x:

Мінімальне значення 3y - 3x відбувається при x = 9 і y = 11, отже, 3y - 3x ≥ 3 * 11 - 3 * 9 = 33 - 27 = 6.

7x^2y:

Мінімальне значення 7x^2y відбувається при x = 4 і y = 11, отже, 7x^2y ≥ 7 * 4^2 * 11 = 7 * 16 * 11 = 1232.

Периметр прямокутника зі сторонами b і а:

Мінімальне значення периметра відбувається при b = 1,7 і а = 3,5, а максимальне - при b = 2,4 і а = 5,4. Тому периметр буде в діапазоні від 2 * (1,7 + 3,5) = 10,4 до 2 * (2,4 + 5,4) = 16,6.

Доведення нерівностей:

(m - 6)(m - 8) < (m - 7)^2 + 5:

Розкривши дужки та спростивши, ми отримаємо:

m^2 - 14m + 48 < m^2 - 14m + 49.

Вираз m^2 - 14m вилучається, і ми отримуємо:

48 < 49, що завжди істинно для будь-якого значення m.

(a + 1)(b + 5)(c + 2)(d + 10) ≥ 160abcd:

Розкривши дужки та спростивши, ми отримаємо:

(a + 1)(b + 5)(c + 2)(d + 10) ≥ 160abcd.

Права і ліва сторони нерівності мають однаковий множник (abcd), тому нерівність істинна для будь-яких невід'ємних значень a, b, c, і d.

x^2 - 12x + y^2 + 8y + 100 > 0:

Розкривши дужки, ми отримаємо:

x^2 - 12x + y^2 + 8y + 100 > 0.

Перетворимо це у рівняння кола:

(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 8y + 16) + 100 - 36 - 16 > 0.

(x - 6)^2 + (y + 4)^2 + 100 - 52 > 0.

(x - 6)^2 + (y + 4)^2 + 48 > 0.

Оскільки квадрати дійсних чисел завжди не менше 0, а додатня константа 48 завжди більше 0, то вираз завжди більше 0 для будь-яких значень x і y.