Комбинаторика.сколько точек пересечения этих прямых образуются внутри треугольника?

пжлст)

а) Для подсчета количества точек пересечения прямых внутри треугольника, нужно учесть количество способов выбора двух точек на каждой стороне треугольника и количество способов их соединения.

Количество способов выбора двух точек из n на одной стороне треугольника равно n(n-1)/2. Аналогично для другой стороны.

Теперь нужно учесть, что две прямые могут не пересекаться внутри треугольника. Это произойдет, если точки на одной стороне соединены с точками на другой стороне в том же порядке. Количество таких “непересекающихся” пар прямых равно n!*m!.

Итак, количество точек пересечения прямых равно:

n(n-1)m(m-1)/(2*2) - n!*m!

б) Количество частей, на которые прямые разбивают треугольник, равно количеству треугольников, образованных пересечением прямых. Для подсчета таких треугольников нужно учесть количество треугольников, образованных соединением двух точек на одной стороне и одной точки на другой, и количество “непересекающихся” треугольников.

Количество треугольников равно:

nm(n+m-2)/2 - n!m!

Таким образом, количество частей равно nm(n+m)/2