Исследуйте функции на монотонность и экстремумы: а) y=5x^2 - 20x ; б) y=x^3 + 3x^2 + 4 ; в) y=x^2(x - 12) ; г) y=x^2/1-x

Хорошо, давайте рассмотрим эти функции по отдельности.

**а) y=5x^2 - 20x**

Эта функция является линейной, поэтому она монотонна на всём своём множестве определения.

**б) y=x^3 + 3x^2 + 4**

Эта функция имеет следующий квадратный трёхчлен:

```
f(x) = x^2 + 6x + 4 = (x+2)^2 + 0
```

Данный квадратный трёхчлен имеет один корень, равный -2.

Таким образом, функция монотонно возрастает на интервале (-∞;-2) и монотонно убывает на интервале (-2;+∞).

**в) y=x^2(x - 12)**

Эта функция имеет следующий квадратный трёхчлен:

```
f(x) = x^2(x-12) = x^3 - 12x^2
```

Данный квадратный трёхчлен имеет один корень, равный 4.

Таким образом, функция монотонно возрастает на интервале (-∞;4) и монотонно убывает на интервале (4;+∞).

**г) y=x^2/1-x**

Эта функция имеет следующий знаменатель:

```
1-x
```

Знаменатель равен нулю при x=1.

Таким образом, функция имеет единственную точку разрыва в точке x=1.

В окрестности точки x=1 функция имеет следующий вид:

```
f(x) = x^2/(1-x) = x^2/(1-x + 0.01) = x^2/0.99
```

В окрестности точки x=1 функция монотонно возрастает.

Таким образом, функция монотонно возрастает на интервале (-∞;1) и монотонно убывает на интервале (1;+∞).

**Вывод:**

* **а) y=5x^2 - 20x** - монотонно возрастает на всём своём множестве определения.
* **б) y=x^3 + 3x^2 + 4** - монотонно возрастает на интервале (-∞;-2) и монотонно убывает на интервале (-2;+∞).
* **в) y=x^2(x - 12)** - монотонно возрастает на интервале (-∞;4) и монотонно убывает на интервале (4;+∞).
* **г) y=x^2/1-x** - монотонно возрастает на интервале (-∞;1) и монотонно убывает на интервале (1;+∞).