4a^2+b^2+1>2ab+2a+b довести нерівність100 балів!

Ответ:

Для доведення даної нерівності, спростимо вирази на обох сторонах:

Почнемо з даної нерівності:

4a^2 + b^2 + 1 > 2ab + 2a + b

Ми можемо відняти (2ab + 2a + b) від обох сторін нерівності, щоб отримати:

4a^2 + b^2 + 1 - 2ab - 2a - b > 0

Тепер спростимо ліву сторону нерівності:

4a^2 - 2ab + b^2 + 1 - 2a - b > 0

Тепер ми можемо розкласти квадратний трином:

(2a - b)^2 + (1 - 2a - b) > 0

Тепер ми маємо вигляд, де перший доданок - це квадрат, і другий доданок - це лінійна функція. Перевіримо умову нерівності, щоб вона була більше нуля:

(2a - b)^2 завжди більше або рівне нулю для всіх значень a і b.

(1 - 2a - b) більше нуля, якщо:

1 - 2a - b > 0

Розв'яжемо цю лінійну нерівність:

1 - 2a - b > 0

-2a - b > -1

b < -1 + 2a

Тепер ми маємо дві умови:

1. (2a - b)^2 завжди більше або рівне нулю.

2. b < -1 + 2a.

Отже, нерівність 4a^2 + b^2 + 1 > 2ab + 2a + b виконується, коли виконуються ці дві умови.