Помогите с олимпиадной задачей по математике?

Для того чтобы данная последовательность {x}, [x], x являлась геометрической прогрессией, необходимо, чтобы отношение любых двух последовательных членов было постоянным.

Давайте проверим это условие для данной последовательности:

1. Первый член: {x}
2. Второй член: [x]
3. Третий член: x

Теперь найдем отношение между первым и вторым членом:

\[ \frac{{[x]}}{{{x}}} \]

И отношение между вторым и третьим членом:

\[ \frac{{x}}{{[x]}} \]

Для геометрической прогрессии эти два отношения должны быть равны. То есть:

\[ \frac{{[x]}}{{{x}}} = \frac{{x}}{{[x]}} \]

Мы можем упростить это уравнение:

\[ {[x]}^2 = x^2 \]

Теперь рассмотрим положительные решения этого уравнения. Обратите внимание, что [x] - это целая часть числа, поэтому для положительных чисел это будет наибольшее целое число, которое меньше или равно x.

Теперь, чтобы найти положительные решения, рассмотрим отдельно случаи:

1. Если x - целое число, то [x] = x, и уравнение {[x]}^2 = x^2 сводится к x^2 = x^2, что верно для всех положительных x.

2. Если x - дробное число между целыми числами m и m+1 (где m - целое число), то [x] = m, и уравнение {[x]}^2 = x^2 сводится к m^2 = x^2. Решения этого уравнения будут положительными дробями, которые лежат между m и m+1.

Итак, положительные решения для x, при которых данная последовательность является геометрической прогрессией, включают в себя все положительные целые числа и дроби, которые лежат между целыми числами.