Довести: 1) (a - 6)(a + 4) < (a + 2) (a - 4); 2) y2 - 6y + 25 > 0; 3) x7 - 6xy + 10y2 - 4y + 7 > 0. ДАЮ 50 БАЛЛОВ

Доведення нерівності (a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4):

Спростимо обидві сторони нерівності:

(a - 6)(a + 4) < (a + 2)(a - 4)

Розподілімо множники на обох сторонах:

a^2 - 6a + 4a - 24 < a^2 + 2a - 4a - 8

Згрупуємо подібні терміни:

a^2 - 2a - 24 < a^2 - 2a - 8

Тепер віднімемо a^2 та -2a обидві сторони, щоб спростити нерівність:

-24 < -8

Оскільки -24 менше -8, то ця нерівність є правильною для всіх значень a. Тобто, вона виконується для будь-якого реального числа a.

Доведення нерівності y^2 - 6y + 25 > 0:

Для доведення цієї нерівності, спростимо вираз на лівій стороні:

y^2 - 6y + 25 > 0

Ми можемо помітити, що цей вираз є квадратичним тричленом і не має коренів, оскільки дискримінант D = (-6)^2 - 4(1)(25) = 36 - 100 = -64 від'ємний.

Оскільки дискримінант від'ємний, ця квадратична нерівність не має дійсних коренів і завжди виконується. Тобто, вона виконується для всіх значень y.

Доведення нерівності x^7 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 > 0:

Для цієї нерівності важко провести аналітичне доведення, оскільки вона включає степені x та y та є складною квадратичною формою. Для визначення області, в якій ця нерівність виконується, потрібно провести аналіз функції, використовуючи графіки або числові методи, такі як чисельне моделювання.

Загалом, для таких складних нерівностей, де відсутні аналітичні рішення, зазвичай використовують графіки або чисельні методи для визначення області виконання нерівності.