y = l ^ 4x - l ^ 3 (Похідні показникової і логорифмічної функції)

Ответ:

Давайте знайдемо похідні для функції \(y = \ln^{4x} - \ln^3\):

1. Похідна частини \(ln^{4x}\):

\[\frac{d}{dx}(\ln^{4x}) = (\ln^{4x})' \cdot \frac{d}{dx}(4x)\]

Застосуємо логарифмічне правило \((a^b)' = b \cdot (a^{b-1})'\):

\[\frac{d}{dx}(\ln^{4x}) = 4 \cdot \ln^{4x-1} \cdot \frac{d}{dx}(x)\]

\[\frac{d}{dx}(\ln^{4x}) = 4 \cdot \ln^{4x-1}\]

2. Похідна частини \(\ln^3\):

\[\frac{d}{dx}(\ln^3) = 3 \cdot (\ln^2) \cdot \frac{d}{dx}(\ln)\]

Враховуючи, що \(\frac{d}{dx}(\ln) = \frac{1}{x}\):

\[\frac{d}{dx}(\ln^3) = 3 \cdot (\ln^2) \cdot \frac{1}{x}\]

Отже, загальна похідна \(y\) виглядає наступним чином:

\[y' = 4 \cdot \ln^{4x-1} - 3 \cdot \frac{\ln^2}{x}\]