Складіть рівняння дотичної, про- веденої в точці А (-2; 1) кола х²+ +y²-2x+4y - 13 = 0.

Ответ:

Дотична до кола проводиться в точці \(A(-2, 1)\). Щоб знайти рівняння дотичної, використаємо те, що вектор нормалі до кола у даній точці буде напрямлений від центра кола до точки дотику.

Спочатку запишемо рівняння кола у стандартній формі:

\[ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 13 = 0. \]

Тепер знайдемо часткові похідні за \(x\) та \(y\) та підставимо координати точки \(A(-2, 1)\) для знаходження вектора нормалі:

\[

\begin{align*}

\frac{d}{dx}(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 13) &= 2x - 2, \\

\frac{d}{dy}(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 13) &= 2y + 4.

\end{align*}

\]

Підставимо \(x = -2\) та \(y = 1\):

\[

\begin{align*}

\text{вектор нормалі} &= (2(-2) - 2, 2(1) + 4) \\

&= (-6, 6).

\end{align*}

\]

Тепер можемо записати рівняння дотичної у вигляді:

\[ -6(x + 2) + 6(y - 1) = 0. \]

Очистимо це рівняння та отримаємо загальний вигляд дотичної:

\[ x - y + 4 = 0. \]

Це є рівняння дотичної до заданого кола в точці \(A(-2, 1)\).