діагональ AC трапеції ABCD ділить її середню лінію на відрізки AM = 4см, MK = 6 см, знайдіть основи трапеції

Ответ:

Позначимо основи трапеції ABCD через \(AB\) та \(CD\), а точку перетину діагоналей через \(O\).

Так як \(AC\) є діагоналлю трапеції, то ми маємо трикутники \(AOM\) та \(COM\). За властивістю середньої лінії та властивістю діагоналей трапеції, ми можемо скласти наступні рівняння:

1. З трикутника \(AOM\): \(AM + MK = AO\)

2. З трикутника \(COM\): \(MK + KO = OC\)

Ми знаємо, що \(AM = 4\) см та \(MK = 6\) см, тому можемо підставити ці значення в рівняння:

1. \(4 + 6 = AO\) (1)

2. \(6 + KO = OC\) (2)

Також, оскільки \(O\) - точка перетину діагоналей трапеції, вона ділить діагоналі навпіл. Отже, \(AO = OC\). Підставимо це у рівняння (1):

\[4 + 6 = AO = OC\]

Отже, \(AO = OC = 10\) см.

Таким чином, ми отримали, що довжина діагоналі \(AC\) трапеції ABCD дорівнює 10 см. Тепер можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження довжини основ трапеції:

\[AB^2 + OC^2 = AC^2\]

Де \(AB\) та \(CD\) - основи трапеції. Оскільки \(OC = 10\), можемо записати:

\[AB^2 + 10^2 = AC^2\]

Також, відомо, що \(AB + CD = AC\). Підставимо значення та розв'яжемо рівняння:

\[AB + CD = 10\]

Отримаємо основи трапеції ABCD.