Найдите наименьшее целое решение неравенства x²-|x|-9/x-1 ≤0.

Ответ:

Для знаходження наименшого цілого розв'язку нерівності \(x^2 - |x| - \frac{9}{x - 1} \leq 0\), давайте розглянемо вирази окремо:

1. \(x^2 - |x|\): Це можна розглядати як квадратичний тричлен. Факторизуємо його як \(x(x - 1)(x + 1)\).

2. \(\frac{9}{x - 1}\): Виділимо дільник \(x - 1\) у чисельнику.

Тепер об'єднаємо ці вирази:

\[x^2 - |x| - \frac{9}{x - 1} = x(x - 1)(x + 1) - \frac{9}{x - 1}\]

Розв'язок нерівності - це множина значень \(x\), для яких вираз менше або дорівнює нулю. Оскільки ми шукаємо найменше ціле рішення, перевіримо вираз на цілочисельних значеннях \(x\).

Спростимо вираз і подивимося на його знак для різних значень \(x\):

\[x(x - 1)(x + 1) - \frac{9}{x - 1} \leq 0\]

Спробуймо \(x = 0, 1, 2\) і т.д., та визначимо, для яких значень вираз менше або дорівнює нулю.

Отримаємо, що найменше ціле рішення цієї нерівності - \(x = 3\).