Трудная задача по математике

Для доказательства этого утверждения можно использовать принцип Дирихле (принцип ящиков Пижона). Согласно этому принципу, если \( n \) объектов распределены по \( m \) ящикам и \( n > m \), то хотя бы в одном ящике окажется более одного объекта.

Рассмотрим пятизначное число \( ABCDE \) (где каждая буква обозначает цифру). Нам нужно доказать, что среди чисел, составленных из подряд идущих цифр этого числа, найдется составное число. Эти числа могут быть: \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( E \), \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DE \), \( ABC \), \( BCD \), \( CDE \), \( ABCD \), \( BCDE \), \( ABCDE \).

Мы знаем, что существует только 10 однозначных чисел (0-9) и 4 двузначных простых числа (11, 13, 17, 19). Таким образом, если все однозначные и двузначные числа, образованные цифрами \( ABCDE \), являются простыми, то в числе \( ABCDE \) должны быть только цифры от 1 до 9 и, кроме того, цифры \( AB \), \( BC \), \( CD \), и \( DE \) должны быть одним из четырех двузначных простых чисел.

Однако, если это так, то \( ABCDE \) должно содержать повторяющиеся цифры, так как существует только 4 двузначных простых числа, и они не могут образовать 4 непересекающиеся пары цифр в пятизначном числе без повторения. Это противоречит принципу Дирихле, согласно которому в одном из "ящиков" (однозначных или двузначных чисел) должно быть более одного "объекта" (цифры или пары цифр).

Таким образом, в пятизначном числе \( ABCDE \) обязательно найдется подпоследовательность цифр, образующая составное число.