Помогите, пожалуйста, решить систему уравнений. 11 класс

загугли

Для решения системы уравнений

sin(4x-2y)+√2sin(3x-y) = 0 и √2sin(2x-y)+sin(3x-2y) =0

мы используем метод подстановки. Первое уравнение мы возводим в квадрат, и получаем:

(sin(4x-2y))^2+2√2sin(4x-2y)sin(3x-y)+(√2sin(3x-y))^2 = 0
или
1-cos(8x-4y)-2√2cos(x-3y/2)sin(5x-3y/2)+1-cos(6x-3y) = 0
Теперь используем формулу двойного угла для косинусов и синусов:
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ и 2sinαsinβ = cos(α-β)-cos(α+β).
Получаем:
1-(cos(4x-2y)/2+cos(4x+2y)/2)-2√2(cos(2x-3y)-cos(4x-y)/4)(2sin(5x-3y)/2)/2 + 1-cos(6x-3y)
После упрощения и приведения подобных членов, получаем:
-cos(4x-2y)-√2cos(2x-3y)+cos(4x+2y)+2√2cos(4x-y)-cos(6x+3y) = 0
Возводим второе уравнение в квадрат и получаем аналогично:
√2sin(2x-y)=0 или sin(2x-y)=0
Это уравнение имеет решение x=y/2+πk, где k∈Z. Подставляем это решение в первое уравнение:
-cos(-y+2πk)-√2cos(-3y/2+2πk)+cos(y+2πk) + 2√2 cos(y-2πk+2π)-cos(3y+6πk)=0
Упрощая и приводя подобные члены, получаем:
2cos(πk)-cos(y/2)-√2cos(3πk-3y/2)+2cos(y)-1+cos(3y/2)=0
Используя формулу двойного угла cos(2α) = 2cos^2(α)-1, получаем:
4cos^2(πk/2)-1-√2((1+cos(3(2πk-y)))/2-1)+4cos^2 (y/2)-1+(1+cos(3y/2))/2-1=0
После упрощений и приведений подобных членов получаем:
8cos^2((πk)/2)-4cos^2(y/2)-2+√2*(1+cos(6πk-3y))/2=0
8(1+cosy)/2-4cos^2(y/2)-(2-√2)*√2+1+√2cos(6πk-3y)=0
Умножаем на 2 и решаем квадратное уравнение относительно cos(y/2):8-8cos(y/2)-4cos^2(y/2)-(4-2√2)+2+2√2cos(6πk-3y)=0
4-8cos(y/2)-4(1-cosy)+2-2√2+2+2√2cos(6πk-3y)=0
-8cosy/2+4cosy+4-4-2+2√2-2-2√2cos(6πk-3y)=0
Подставляя k=0, получаем cos(3y)=1. Отсюда y=2πn/3, где n∈Z.
Подставляем k=1 и получаем cos(6π-3y)=-1. Отсюда 3y=2π(m+1), где m∈Z, или y=2πm/3.
Таким образом, мы нашли два семейства решений:

y = 2πn/3 и x = πn/3+π/2, где n ∈ Z, а также y = 2πm/3 и x = 2π/3+2πm, где m ∈ Z.
Эти решения включают все возможные решения исходной системы уравнений.