Вычислить объём пирамиды, вершины которой находятся в точках A(0;4;0), B(0;0;3), C(1;2;1), D(7:0:0)

Ответ:

Объем пирамиды можно вычислить, используя формулу:

\[ V = \frac{1}{6} \cdot \left|\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})\right| \]

Где \( \overrightarrow{AB} \) - вектор от точки A до B, \( \overrightarrow{AC} \) - вектор от точки A до C, \( \overrightarrow{AD} \) - вектор от точки A до D, а \( \times \) обозначает векторное произведение.

Рассчитаем векторы:

\[ \overrightarrow{AB} = \langle 0-0, 0-4, 3-0 \rangle = \langle 0, -4, 3 \rangle \]

\[ \overrightarrow{AC} = \langle 1-0, 2-4, 1-0 \rangle = \langle 1, -2, 1 \rangle \]

\[ \overrightarrow{AD} = \langle 7-0, 0-4, 0-0 \rangle = \langle 7, -4, 0 \rangle \]

Теперь вычислим векторное произведение \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \):

\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 7 & -4 & 0 \end{matrix}\right| \]

\[ = \langle -4, -7, -10 \rangle \]

Теперь подставим значения в формулу объема:

\[ V = \frac{1}{6} \cdot \left| \langle 0, -4, 3 \rangle \cdot \langle -4, -7, -10 \rangle \right| \]

\[ V = \frac{1}{6} \cdot |-4 \cdot 0 + (-4) \cdot (-7) + 3 \cdot (-10)| \]

\[ V = \frac{1}{6} \cdot |-28 - 30| \]

\[ V = \frac{1}{6} \cdot 58 \]

\[ V = 9.67 \]

Итак, объем пирамиды составляет примерно \(9.67\) кубических единиц.