если (x^2+1)(y^2+1)+9=6(x+y) тогда x^2+y^2=?

Ответ:

7

Объяснение:

Запишем это уравнение как квадратное относительно y:

(1 + x²) y² - 6y + (x² - 6x + 10) = 0

Посмотрим, чему равен его дискриминант (поделенный на 4, чтобы было удобнее):

D / 4 = 3² - (1 + x²)(x² - 6x + 10) = ...

Сделаем замену x² - 3x + 11/2 = t (я просто люблю формулу разности квадратов):

... = 9 - (t + (3x - 9/2))(t - (3x - 9/2)) = 9 - t² + (3x - 9/2)² = ...

Если раскрыть скобки в квадрате, получится выразить всё через t, так как (3x - 9/2)² = 9x² - 27x + 81/4 = 9(x² - 3x + 11/2) - 117/4 = 9t - 117/4:

... = 9 - t² + 9t - 117/4 = -(t² - 9t + 81/4) = -(t - 9/2)²

Получается, дискриминант принимает только неположительные значения и может быть равным нулю только если t = 9/2 или, что тоже самое, x² - 3x + 1 = 0. При этом по формуле корней квадратного уравнения y = 3 / (x² + 1) = 1/x, или же xy = 1.

Вооружившись новыми знаниями, преобразуем исходное уравнение:

(x² + 1)(y² + 1) + 9 = 6(x + y)

(xy)² + (x² + y²) + 10 = 2(3x + 3y)

(x² + y²) + 11 = 2(x² + y² + 2)

(x² + y²) + 11 = 2(x² + y²) + 4

x² + y² = 7