Линейные системы уравнений в случае равенства числа уравнений числу неизвестных как решать?

Окей, давай разберем, как решать линейные системы уравнений, когда у нас уравнений столько же, сколько и неизвестных! Это как разгадывать загадку, где каждая подсказка важна. Первый и самый общий способ – метод Гаусса. Начинаем с того, что записываем нашу систему в матричном виде, потому что так удобнее видеть связи между уравнениями. Потом приступаем к прямому ходу: мы хотим сделать матрицу такой, чтобы ниже главной диагонали (это та, что идет от левого верхнего угла до правого нижнего) были нули. Для этого мы отнимаем друг от друга уравнения, умноженные на какие-то коэффициенты. Когда нижняя часть матрицы будет полна нулей, это будет означать, что мы имеем дело только с верхней треугольной матрицей – это наша финишная прямая.

Теперь, когда матрица приведена к верхнетреугольному виду, начинаем обратный ход. На этом этапе мы ищем конкретные значения неизвестных, начиная с последнего и двигаясь вверх. Как? Подставляем уже найденные неизвестные в предыдущие уравнения и так получаем все остальные!

Пример: есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: x + y = 3
2x + 3y = 7


Сначала первое уравнение оставляем как есть, а из второго вычитаем первое, умноженное на два: x + y = 3
y = 1


Теперь ясно, что y=1. Подставляем значение y в первое уравнение: x + 1 = 3

Отсюда найдем, что x=2. Ну вот и всё (крутим пальцем у виска)?.

Ещё есть метод Крамера (он хорош, когда система маленькая), там через детерминанты всё делается. Или через обратную матрицу, но это уже погружение в линейную алгебру.

Главное помни: если матрица уравнений имеет ненулевой детерминант, система имеет единственное решение. Если детерминант ноль – дела плохи, значит уравнения зависимы, и решений либо бесконечно много, либо их нет вовсе. Ну вот, по сути, и всё! Математика – она и в Африке математика, правда очень захватывающая штука!