Варіант 2 1°. Подайте у вигляді многочлена: 1) (m – p)2; 2) ( a + y )( a – y). 2°. Розкладіть на множники: 1) n2 + 2nm + m2; 2) z2 – d2. 3°. Які з рівностей є тотожностями: 1) m2 – n2 = (m + n)(m + n); 2) p3 + t3 = (p + t)(p2 – pt + t2); 3) (x– s)2 = x2 – 2xs + s2; 4) a3 – y3 = (a – y)(a2 + 2ay + y2). 4°. Перетворіть вираз у многочлен: 1) (7y + 3)2 ; 2) (5 – 3c)(5 + 3c). 5°. Розкладіть многочлен на множники: 1) y3 + 27; 2) x2 + 14x + 49; 3) – 49 + 4х2; 4) 9m2 – 9z2 . 6°. Доведіть тотожність (4y – 5)(4y + 5) – (4y – 5)2 + 50 = 40y. 7•. Спростіть вираз: 1) (–7p+5a)2+ (–7p+5a)(5a+7p) + 70pa; 2) (x – 6)(x2 + 6x +36) – x(x – 8)(x + 8) . 8•. Розв’яжіть рівняння: 1) 7y3 – 175y= 0; 2) z3 + 16 z2 + 64 z= 0. 9••. Доведіть, що вираз х2 + 12х + 39 набуває лише додатних значень при всіх значеннях змінної х. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х? Додаткові завдання 10••. Перетворіть вираз у многочлен: 1) (y + 6)3; 2) (3x – 5)3. 11••. Якими є останні дві цифри числа 9683 – 683. 12••. Розкладіть на множники тричлен c2 – 14c – 15.

Ответ:

1°.

1) \( (m - p)^2 = m^2 - 2mp + p^2 \)

2) \( (a + y)(a - y) = a^2 - y^2 \)

2°.

1) \( n^2 + 2nm + m^2 = (n + m)^2 \)

2) \( z^2 - d^2 = (z + d)(z - d) \)

3°.

Тотожності:

1) Вірно.

2) Невірно.

3) Вірно.

4) Вірно.

4°.

1) \( (7y + 3)^2 = 49y^2 + 42y + 9 \)

2) \( (5 - 3c)(5 + 3c) = 25 - 9c^2 \)

5°.

1) \( y^3 + 27 = (y + 3)(y^2 - 3y + 9) \)

2) \( x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2 \)

3) \( -49 + 4x^2 = 4(x^2 - 12) = 4(x - 2\sqrt{3})(x + 2\sqrt{3}) \)

4) \( 9m^2 - 9z^2 = 9(m - z)(m + z) \)

6°.

Доведення тотожності:

\((4y - 5)(4y + 5) - (4y - 5)^2 + 50 = 16y^2 - 25 - (16y^2 - 40y + 25) + 50 = 40y\)

7°.

1) \( (-7p + 5a)^2 + (-7p + 5a)(5a + 7p) + 70pa = 49p^2 - 70pa + 25a^2 - 35p^2 + 49pa + 70pa = 14p^2 + 144a^2 \)

2) \( (x - 6)(x^2 + 6x + 36) - x(x - 8)(x + 8) = x^3 - 36x - 8x^3 + 64 = -7x^3 - 36x + 64 \)

8°.

1) \( 7y^3 - 175y = 7y(y^2 - 25) = 7y(y - 5)(y + 5) \)

2) \( z^3 + 16z^2 + 64z = z(z^2 + 16z + 64) = z(z + 8)^2 \)

9°.

Щоб довести, що \(x^2 + 12x + 39\) набуває лише додатніх значень, розглянемо квадратний тричлен:

\[x^2 + 12x + 39 = (x + 6)^2 + 3\]

Оскільки квадрат та константа завжди невід'ємні, то весь вираз завжди буде більше або рівним 3. Таким чином, найменше значення 3 досягається при \(x = -6\