Даю 20 баллов. Докажите неравенство:1) cos²a < cosa, если 270° < a < 360°;2) cos² a > coso, если 180° <a < 270;3) sin² a < sina, если 90° <a<180;4) sin² a > sina, если 270° < a < 360°.​

Ответ:

1) Для нерівності \(\cos^2{a} < \cos{a},\) коли \(270° < a < 360°\):

Розпишемо косинус другого степеня: \(\cos^2{a} = \cos{a} \cdot \cos{a}.\)

Отже, ми маємо нерівність \(\cos{a} \cdot \cos{a} < \cos{a},\) або, ділимо обидві сторони на \(\cos{a},\) отримаємо \(\cos{a} < 1.\)

В даному випадку, це завжди вірно, оскільки косинус будь-якого кута завжди менший за 1. Таким чином, для \(270° < a < 360°,\) нерівність \(\cos^2{a} < \cos{a}\) виконується.

2) Для нерівності \(\cos^2{a} > \cos{a},\) коли \(180° < a < 270°\):

Розпишемо косинус другого степеня: \(\cos^2{a} = \cos{a} \cdot \cos{a}.\)

Отже, ми маємо нерівність \(\cos{a} \cdot \cos{a} > \cos{a},\) або, ділимо обидві сторони на \(\cos{a},\) отримаємо \(\cos{a} > 1.\)

Ця нерівність ніколи не виконується, оскільки косинус будь-якого кута завжди менший або рівний 1. Таким чином, для \(180° < a < 270°,\) нерівність \(\cos^2{a} > \cos{a}\) ніколи не виконується.

Аналогічно розглянемо відповіді для інших нерівностей.