Докажите неравенство алгебра 9 класс

Для доказательства данного неравенства, используем метод дискриминантов.

Рассмотрим данное неравенство:
m^2n^2 + m^2 + 4n^2 + 9 >= 10mn

Выделим переменные m и n в квадратичных формах:
(mn)^2 - 10mn + (m^2 + 4n^2 + 9) >= 0

Заметим, что это квадратное уравнение относительно переменной mn.
Мы можем рассмотреть дискриминант данного уравнения:
D = (-10)^2 - 4 * (m^2 + 4n^2 + 9)

D = 100 - 4m^2 - 16n^2 - 36
D = -4m^2 - 16n^2 + 64

Так как у нас стоит знак больше или равно (>=), то нам нужно найти область, где дискриминант неотрицательный.

D >= 0
-4m^2 - 16n^2 + 64 >= 0

Разделим неравенство на -4, чтобы упростить выражение:
m^2 + 4n^2 - 16 <= 0

Далее, сделаем замену переменных:
x = m
y = 2n

Тогда получим:
x^2 + y^2 - 16 <= 0

Заметим, что данное уравнение представляет собой круг радиусом 4 с центром в (0,0) в координатной плоскости.
Мы хотим доказать, что данное неравенство выполняется для всех значений m и n, значит КРУГ ЛЕЖИТ вне исследуемой области, то есть нас интересуют значения м и n, которые лежат вне этого круга.

Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство m^2n^2 + m^2 + 4n^2 + 9 >= 10mn верно для всех значений m и n, которые лежат вне круга радиусом 4 с центром в (0,0).