Алгебра 7 класс Докажите, что значение выражения 3^12−5^3 делится нацело на 76. С решением

Внатуре

Если разложить на множители, то получим
(3^4)^3-5^3
По формуле разницы кубов
(3^4-5)((3^4)^2+5*3^4+5^2)
Первый множитель (3^4-5)= 76
Значит все произведение всегда будет кратно 76

reply chat gpt

Чтобы доказать, что выражение 3^12 - 5^3 делится на 76, нам нужно показать, что разность делится как на 4, так и на 19.

Во-первых, давайте рассмотрим делимость на 4. Обратите внимание, что любое число, возведенное в степень 12, будет делиться на 4, поскольку 12 больше или равно 2 (простой делитель 4). Итак, 3^12 делится на 4.

Теперь давайте сосредоточимся на делимости на 19. Мы можем упростить 5^3 как (5^2) * 5. Поскольку (5^2) равно 25, мы можем переписать выражение как 25 * 5 = 125.

Чтобы найти остаток при делении 125 на 19, мы можем использовать свойство остатков: (a * b) % c = (a % c * b % c) % c. Применяя это свойство неоднократно, мы имеем:

125 % 19 = (5 % 19 * 5 % 19) % 19 = (5 * 5) % 19 = 25 % 19 = 6.

Следовательно, при делении 5^3 на 19 остается остаток 6.

Теперь давайте вычтем остаток по модулю 19 из 3^12 по модулю 19:

(3^12 - 5^3) % 19 = (0 - 6) % 19 = -6 % 19 = 13 % 19 = 13.

Мы видим, что 3^12 - 5^3 оставляет в остатке 13 при делении на 19.

Поскольку мы уже установили, что 3^12 делится на 4, а разница оставляет остаток 13 при делении на 19, мы можем заключить, что 3^12 - 5^3 делится и на 4, и на 19. Следовательно, это делятся на наименьшее общее кратное, равное 76.