Доказать, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел всегда нечетна.

второе нечётное, квадрат его тоже нечётный.

n^2+(n+1)^2=n^2+n^2+2n+1=2n^2+2n+1
Теперь по порядку рассмотрим каждое слагаемое:
2n^2 всегда четное из за множителя 2
2n всегда четное по выше указанной причине
Сумма двух четных чисел всегда четна
Прибавляем 1, получается что число нечетное

последовательные числа всегда четные и нечетные. Квадрат нечетного - нечетное, квадрат четного - четное. Сумма четного и нечетного - нечетное