Найдите область определения функции y=3x-5/корень 7x-x^2-12

Ответ:

(-\infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, +\infty)

Объяснение:

Для нахождения области определения функции y = \frac{3x - 5}{\sqrt{7x - x^2 - 12}} нужно учитывать два условия:

1. Знаменатель под корнем не должен быть отрицательным: 7x - x^2 - 12 \geq 0, так как нельзя извлечь корень из отрицательного числа.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: 7x - x^2 - 12 \neq 0, чтобы избежать деления на ноль.

Теперь найдем область определения.

1. **Находим корни квадратного уравнения:**

7x - x^2 - 12 = 0

Перепишем это уравнение в виде: -x^2 + 7x - 12 = 0.

Решим это уравнение с помощью квадратного уравнения или метода факторизации.

Уравнение имеет два корня: x = 3 и x = 4.

Теперь у нас есть интервалы между корнями: (-\infty, 3), (3, 4), (4, +\infty).

2. **Проверяем знак выражения под корнем в каждом интервале:**

- Для интервала (- \infty, 3): 7x - x^2 - 12 > 0 (поскольку x^2 имеет отрицательный коэффициент, это будет выпуклая парабола вниз, и она положительна до своего вершины).

- Для интервала (3, 4): 7x - x^2 - 12 < 0 (поскольку x^2 имеет отрицательный коэффициент, это будет выпуклая парабола вверх, и она отрицательна между корнями).

- Для интервала (4, +\infty): 7x - x^2 - 12 > 0 (поскольку x^2 имеет отрицательный коэффициент, это будет выпуклая парабола вниз, и она положительна после своего вершины).

3. **Объединяем результаты:**

- Область определения функции - это объединение интервалов, где 7x - x^2 - 12 \geq 0, исключая точки, где знаменатель равен нулю (то есть x = 3 и x = 4).

Таким образом, область определения функции y = \frac{3x - 5}{\sqrt{7x - x^2 - 12}} это интервал (-\infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, +\infty).