Итак, нам дано биквадратное уравнение: 2x⁴ - 5x³ + 3x² = 0.
Перед тем, как начать решать это уравнение, давайте приступим к его факторизации. Обратите внимание, что каждый коэффициент уравнения положителен. Мы можем вынести наименьший общий множитель из каждого члена, а затем применить свойство дистрибутивности.
Факторизация:
x²(2x² - 5x + 3) = 0.
Теперь, нам необходимо решить уравнение в скобках: 2x² - 5x + 3 = 0.
Для того, чтобы решить его, воспользуемся одним из методов: факторизацией, квадратным уравнением или методом дискриминанта.
Поскольку данное уравнение не факторизуется и не является полным квадратом, воспользуемся методом дискриминанта.
Дискриминант (D) этого уравнения вычисляется по формуле D = b² - 4ac, где a = 2, b = -5 и c = 3.
Применим формулу и найдем значение дискриминанта:
D = (-5)² - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1.
Так как дискриминант не равен нулю, у нас есть два действительных и отличных друг от друга корня.
Используем формулу для нахождения корней биквадратного уравнения:
x = (-b ± √D) / (2a).
Подставим значения из нашего уравнения и вычислим корни:
x₁ = (-(-5) + √1) / (2 * 2) = (5 + 1) / 4 = 6/4 = 3/2.
x₂ = (-(-5) - √1) / (2 * 2) = (5 - 1) / 4 = 4/4 = 1.
Таким образом, корни нашего уравнения равны x₁ = 3/2 и x₂ = 1.
Теперь мы можем отправиться в обратную сторону и использовать эти корни, чтобы найти факторизацию изначального уравнения.
Итак, мы имеем x²(2x - 3)(x - 1) = 0.
Теперь решим каждый множитель равенства, чтобы получить все возможные значения "x":
1) x² = 0, x = 0.
2) 2x - 3 = 0, x = 3/2.
3) x - 1 = 0, x = 1.
В результате получаем три значения "x": 0, 3/2 и 1.
Таким образом, биквадратное уравнение 2x⁴ - 5x³ + 3x² = 0 имеет три корня: x = 0, 3/2 и 1.