Докажите, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно сложения.

Для того чтобы доказать, что множество не замкнуто, нам достаточно найти два иррациональных числа - сложить их и в результате получить рациональное число. То есть сумма двух иррациональных чисел не всегда иррациональна, то есть не замкнуто на иррациональности.Возьмем  простейшее иррациональное число √2 и соответсвенно -√2сложим √2 + (-√2) = √2 - √2 = 00 число рациональное . Тем самым мы нашли два иррациональных числа, которые при сложении дают рациональное числоТак же доказывается  незамкнутость иррациональных чисел при 1. разности 1+√3 и √3 равна 12. произведении √2 и 2√2 равно 43. делении 2√2 и √2 равно 2---------------------------Докажем что √2 иррациональное числоПредположим что оно рациональное то есть его можно представить в виде несократимой дроби √2=a/b где a , целые и взаимнопросты (в противном случае они бы сократились) замечаем что a b оба не четные (если бы были оба четными то сократились на 2)Возводим в квадрат  2=a²/b² 2b²=a²  замечаем что число 2b² четное, значит и a² тоже четное. заменяем a=2c и подставляем в 2b²=(2c)²=4c²b²=2c²  получили что и b четное. То есть a b четные и их можно сократить, но мы предполагали что они взаимнопросты, и тем самым допустили противоречие. Значит √2 нельзя представить в виде дроби и оно иррациональное число