Выразите delta f и [tex]\frac{delta f}{deltax}[/tex] через [tex]x_0[/tex] и delta x и преобразуйте полученные выражения:

1) [tex]f(x)=\ x^3 - 2x[/tex]

2) [tex]f(x) = \frac{1}{x^2+1}[/tex]

 

Если нетрудно, напишите объяснения, а то проболел всю тему. Заранее спасибо!

1) дана функция 

f(x)=x^3-2x

для  точки х0 значение функции

f(x0)=(x0)^3-2(x0)

находим прирост функции 

delta=f(x)-f(x0)= x^3-2x-  (x0)^3-2(x0)=группируем=(x^3-(x0)^3)-2(x-(x0))=

=используем формулу разности кубов(x-x0)(x^2+x(x0)+(x0)^2)-2(x-(x0))=выносим общий множитель=(x-x0)(x^2+x(x0)+(x0)^2-2)

 прирост аргумента

delta x=x-x0

находим искомое отношение 

delta f/delta x= (x-x0)(x^2+x(x0)+(x0)^2-2)/ (x-x0)=

= (x^2+x(x0)+(x0)^2-2)  

ответ:  x^2+x(x0)+(x0)^2-2

2)  f(x)=1/(x^2+1)

значении функции в точке х0 

f(x0)=1/((x0)^2+1)

прирост функции 

delta f=f(x)-f(x0)= 1/(x^2+1) - 1/((x0)^2+1) =сводим к общему знаменателю дроби и вычитаем разницу

=((x0)^2+1-x^2-1) / ((x^2+1)((x0)^2+1))=упрощение=

=((x0)^2-x^2)   / ((x^2+1)((x0)^2+1))=используем формулу разности квадратов

=-(x-(x0))(x+(x0)) / ((x^2+1)((x0)^2+1))

 прирост аргумента

delta x=x-x0

 находим искомое отношение

delta f/delta x=  -(x-(x0))(x+(x0)) / ((x^2+1)((x0)^2+1)) / (x-(x0))=

 -(x+(x0)) / ((x^2+1)((x0)^2+1))  

ответ:   -(x+(x0)) / ((x^2+1)((x0)^2+1))