a, b, c – длины сторон некоторого треугольника.   докажите, что a^2(b+c-a) +b^2(a+c-b) + c^2(a+b-c)=<3abc

a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq 3abc\\ b+c \geq a\\ a+c \geq b\\ a+b \geq c\\\\ a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq 3(b+c)(a+c)(a+b)\\ (b+c)(b+c-a)+(a+c)(a+c-b)+(a+b)(a+b-c) \leq 3(b+c)(a+c)(a+b) После преобразований получим  (b+c)^2+(a+c)^2+(a+b)^2 \leq 3(b+c)(a+c)(a+b)+a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) С учетом неравенств 2a^2+2b^2+2c^2+2bc+2ac+2ab \leq 3(b+c)(a+c)(a+b)+a^2+b^2+c^2a^2+b^2+c^2+2bc+2ac+2ab \leq 3(b+c)(a+c)(a+b) (a+b+c)^2 \leq 3(b+c)(a+c)(a+b) (a+b)^2+(b+c)^2+((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2)) \leq 3(b+c)(a+c)(a+b)\\ \frac{(a+b)^2+(b+c)^2+((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2))}{3} \leq (b+c)(a+c)(a+b)\\ пользуясь неравенством о средних \sqrt[3]{(a+b)^2*(b+c)^2*((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2))}очевидно что будет меньше правого