Два равносильных противника играют в шахматы. Для каждого из них что вероятнее выиграть: а) одну партию из двух или две из четырех; б) не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти. Ничьи во внимание не принимаются.

Обозначим:

A(i) - игрок выиграл i-ю партию (вероятность этого события p = 1/2). ~A(i) - игрок проиграл i-ю партию (вероятность этого события q = 1 - p = 1/2).

P(m,N) - событие "игрок выиграл m партий из N".

S(m,N) - событие "игрок выиграл не менее m партий из N". s(m,N) - вероятность события "игрок выиграл не менее m партий из N"

C(k,N) = [N!/k!(N-k)!]*p^k*q^(N-k) - вероятность k выигрышей и N-k проигрышей в N партиях для каждого из игроков. C(k,N) = [N!/k!(N-k)!]*(1/2)^N, т.к. в нашем случае p = q = 1/2.

p(m,N) - вероятность события "игрок выиграл m партий из N": p(m,N) = C(m,N) = [N!/m!(N-m)!]*p^m*q^(N-m) = [N!/m!(N-m)!]*(1/2)^N

s(m,N) - вероятность события "игрок выиграл не менее m партий из N": s(m,N) = p(m,N) + p(m+1,N) +...+ p(N,N).

а)

p(1,2) = [2!/(1!1!)]*(1/2)^2 = 2*(1/4) = 1/2

p(2,4) = [4!/2!(2)!]*(1/2)^4 = 6*(1/2)^4 = 3/8

Следовательно, p(1,2) > p(2,4)

Вероятность выигрыша одной партии из двух больше, чем вероятность выигрыша двух партий из четырех.

б)

s(2,4) = p(2,4) + p(3,4) + p(4,4) = 3/8 + 1/4 + 1/16 = 11/16

s(3,5) = p(3,5) + p(4,5) + p(5,5) = 10/32 + 5/32 +1/32 = 1/2

Следовательно, s(2,4) > s(3,5)

Вероятность выигрыша не менее двух партий из четырех больше, чем вероятность выигрыша не менее трех партий из пяти.