найти экстремумы функции (лок.мин и лок.макс)

y=cosx+1/2*cos2x  [0;2П]

Ищем производную заданной функции:

y'=-sinx-sin2x=-sinx-2sinx*cosx=-sinx(1+2cosx)=0

Отсюда находим критические точки (сразу выбираем те, которые принадлежат отрезку [0;2*pi]):

sinx=0

х=0, x=pi, x=2*pi

1+2cosx=0

x=(2*pi)/3, x=(4*pi)/3.

Все найденные точки изображаем на числовой оси и ищем промежутки возрастания (где производная больше нуля) и убывания (где меньше) функции.

(Рисуйте числовую ось и размещайте точки в таком порядке: 0, (2*pi)/3), pi, (4*pi)/3, 2*pi)

Берите любую внутреннюю точку из промежутка и подставляйте в выражение для производной. Если получится больше нуля, то там функция возрастает и.т.д.Если на соседних промежутках производная имеет разные знаки, там есть локальный экстремум(если "-" "+" - локальный минимум, если наоборот - локальный максимум)

Значит в точках х=0, x=pi, x=2*pi-функция имеет локальный максимум

           в точках x=(2*pi)/3, x=(4*pi)/3-локальный минимум.

Ура!