Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Найти объём тела, поверхность которого образуется вращением дуги окружности x^2+y^2=25 и прямых 3x-4y=0, x=0, вокруг оси Oy.

Ответы 1

  • Найдем точки пересечения прямой и окружности:

    \left \{ {{x^2+y^2=25} \atop {3x-4y=0}} ight. 

    \left \{ {{y=\frac{3}{4}x} \atop {x^2+\frac{9}{16}x^2=25}} ight. 

    x = +/-4

    Найдем точки пересечения дуги окружности и оси ОХ:

    \left \{ {{y=0} \atop {x^2+y^2=25}} ight. 

    x = +/-5

    Объем тела вращения будет вычисляться как интеграл в пределах [-5;4] (исходя из рисунка)

    V_y = 2\pi\int\limits^a_b {x*(y_1-y_2)} \, dx 

    V_y = 2\pi\int\limits^{4}_{-5} {x(\frac{3}{4}x-\sqrt{25-x^2})} \, dx = 2\pi(\frac{3}{4}\int\limits^{4}_{-5} {x^2} \, dx-\int\limits^{4}_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx)

    \int\limits^{4}_{-5} {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3}|_{-5}^4 = \frac{4^3}{3} + \frac{5^3}{3}=\frac{189}{3} 

    \int\limits^4_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx 

    Замена:

    u = 25-x^2

    du = -2xdx

    xdx = -0.5du

    u1 = 25-x1^2 = 25-25 = 0

    u2 = 25-x2^2 = 25-16 = 9

    \int\limits^4_{-5} {x\sqrt{25-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2}\int\limits^9_0 {\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_0^9 = -\frac{1}{3}\sqrt{u^3}|_0^9 = -\frac{1}{3}3^3 = -9 

    V_y = 2\pi(\frac{3}{4}*\frac{189}{3}-(-9)) = 2\pi*56.25=112.5\pi 

     

    • Автор:

      dollqsgy
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years