Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Найдите сумму решений уравнения tg2x * cos2x = sin2x + sin4x, принадлежащих множеству [-П; 2П]

Ответы 1

  • Перепишем уравнение, учитывая, что tg2x=\frac{sin2x}{cos2x}

    \frac{sin2x}{cos2x}*cos2x=sin2x+sin4x -----(1)

    В уравнение (1) выражение cos2x находится в знаменателе, поэтому cos2xeq0, или  2xeq\frac{\pi}{2}+\pi*m, m - целое

    или  xeq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi*m}{2}, m - целое-----(2)

    Сократим в левой части уравнения (1) на cos2x:

      sin2x=sin2x+sin4x, отсюда sin4x=0, отсюда

      4x=\pi*n, или x=\frac{\pi*n}{4}, n - целое ------(3)

    Из решений (3) надо исключить значения, равные значениям (2):

     x=\frac{\pi*n}{4}eq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi*m}{2}, отсюда

      \pi*neq\pi+2\pi*m, сокращая на \pi, получим

      neq1+2*m - нечетные числа 

    Другими словами n принимает только четные значения!

     Из условия следует, что -\pi \leq\frac{\pi*n}{4}\leq2\pi, отсюда

        -4 \leq\ n \leq 8

    Таким образом, n принимает значения {-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}

    Видно, что решения (3) уравнения составляют арифметическую прогрессию с первым членом a_{1}=-\pi и последним седьмым членом

     a_{7}=\frac{8*\pi}{4}=2\pi 

    Теперь мы можем найти сумму S всех решений уравнения как сумму первых семи членов арифметической прогрессии: 

    S=7*\frac{a_{1}+a_{7}}{2}=7*\frac{-\pi+2\pi}{2}=3,5*\pi

     

     

     

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years