Найдите наибольшее значение площади ромба, если сумма его диагоналей равна 24 см

пусть одна диагональ х(х>0), тогда вторая 24-х, S=d1*d2/2

S=x*(24-x)

рассмотрим функцию f(x)=24x-x^2

найдем производную, она равна 24-2х

найдем критическую точку 24-2х=0, х=12

при x>12 производная 24-2x<0

при0<x<12 производная 24-2х>0

при переходе через точку х=12 знак производной меняется с плюса на минус, значит это точка максимума

S=12*12/2=72

Пусть одна диагональ равна 2х, другая - 2у, тогда 2х+2у=24 и х+у-12, откуда у=12-х.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, таким образом, площадь ромба состоит из 4-х прямоугольны треугольников с катетами х и у, т.е. площадь ромба S=4*0.5xy=2xy.

Подставим сюда у=12-х и получим S=24x-2x^2.

Найдём максимум этой функции. S'= 24-4x.

Стационарная точка: 24-4х=0 х=6

При х=7 S'<0; при х=5 S'>0, следовательно при х=5 имеем максимум S.

у=12-х=12-6=6.

Тогда Smax=2*6*6=72.

Интересно, что получился квадрат с диагоналями, равными 12.