• Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
    y=| x^{2}-1|   y=11-|x|

Ответы 1

  • без рисункапри х≤-1 и х≥1, первая функция буде у=х²-1при -1≤х≤1, она будет у=1-х²вторая функция, при х≤0 - у=11+х;при х≥0 у=11-хвторая функция выше первой, первая всегда ≥0, и =0 при х=-1 и х=+1обе функции парные:y_1=|x^2-1|\\
y_1(x)=|x^2-1|\ \ \ y_1(-x)=|(-x)^2-1|=|x^2-1|=y_1(x);\\
y_2(x)=11-|x|;\ \ y_2(-x)=11-|-x|=11-|x|обе фУНКЦИИ ПАРНЫЕ, ПОЭТОМУ их пересечения будут в некой точке х1, и х2=-х1рассмотрим при х≥0y_1=y_2;\\
y=x^2-1=11-x\\
x^2+x-12;\\
D=1+48=49=7^2;\\
x=\frac{-1+7}{2}=3;\\
y_1(3)=|3^2-1|=|9-1|=8;<==>y_2(3)=11-|3|=11-3=8;\\
y_1(-3)=|(-3)^2-1|=|9-1|=|8|=9;<=>y_2(-3)=11-|-3|=8\\
интегрирование по промежуткам:-3≤х≤-1==> y1=x²-1 y2=11+x;-1≤x≤0==>y1=1-x²; y2=11+x;0≤x≤1==>y1=1-x²; y2=11-x;1≤x≤3==>y1=x²-1; y2=11-x;I=I_1+I_2+I_3+I_4;\\
I= \int\limits^{-1}_{-3} {\left(11-|x|-|x^2-1|ight)} \, dx \\
I_1= \int\limits^{-1}_{-3} {\left(11+x-x^2+1ight)} \, dx = \int\limits^{-1}_{-3} {\left(12+x-x^2ight)} \, dx=\\
=12x|_{-3}^{-1}+\frac{x^2}{2}|_{-3}^{-1}-\frac{x^3}{3}|_{-3}^{-1}=12(-1+3)+\frac{1-9}{2}-\frac{-1+27}{3}=24-4-\frac{26}{3}\\
=20-\frac{26}{3}=\frac{60-26}{3}=\frac{34}{3};\\
I_2= \int\limits^{0}_{-1} {\left(11+x+x^2-1ight)} \, dx = \int\limits^0_{-1} {\left(x^2+x+10ight)} \, dx =\\
=\frac{x^3}{3}|_{-1}^0+\frac{x^2}{2}|_{-1}^0+10x|_{-1}^0=\frac{0-(-1)^3}{3}+\frac{0-(-1)^2}{2}+10(0-(-1))= \\
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+10=\frac{2-3+30}{6}=\frac{29}{6};\\I_3= \int\limits_0^1 {\left(11-x+x^2-1ight)} \, dx = \int\limits_0^1 {\left(x^2-x+10ight)} \, dx =\\
=\frac{x^3}{3}|_0^1-\frac{x^2}{2}|_0^1+10x|_0^1=\frac{(1)^3-0}{3}-\frac{(1)^2-0}{2}+10(1-0)= \\
\\
=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+10=\frac{2-3+30}{6}=\frac{29}{6};\\I_4= \int\limits_1^3 {\left(11-x-x^2+1ight)} \, dx = \int\limits_1^3 {\left(12-x-x^2ight)} \, dx=\\ =12x|_1^3-\frac{x^2}{2}|_1^3-\frac{x^3}{3}|_1^3=12(3-1)-\frac{3^2-1^2}{2}-\frac{3^3-1^2}{3}=24-\frac{9-1}{2}-\frac{27-1}{3}\\ =24-\frac{8}{2}-\frac{26}{3}=24-4-\frac{26}{3}=20-frac{26}{3}=\\
=\frac{60-26}{3}=\frac{34}{3};\\S=I_1+I_2+I_3+I_4=\frac{34}{3}+\frac{29}{6}+\frac{29}{6}+\frac{34}{3}=\\
=2\cdot\frac{34}{3}+2\cdot\frac{29}{6}=\frac{68}{3}+\frac{29}{3}=\frac{68+29}{3}=\frac{97}{3}=32\frac{1}{3}
  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years