Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Решите уравнение cos4x - cosx = 0 и укажите количество корней из промежудка [0;4пи].

Ответы 1

  • \cos 4x-\cos x=0\\ 2\cos^22x-1-\cos x=0\\ 2(2\cos x-1)^2-1-\cos x=0\\ 2(4\cos^2x-4\cos x+1)-1-\cos x=0\\ 8\cos^2x-8\cos x+2-1-\cos x=0\\ 8\cos^2x-9\cos x+1=0

    Пусть \cos x=t~(|t|\leq 1) , получим квадратное уравнение относительно t:

    8t^2-9t+1=0\\ D=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot 8\cdot1=49\\ t_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{9+7}{2\cdot8} =1 \\ t_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{9-7}{2\cdot8} =\dfrac{1}{8}

    Возвращаемся к обратной замене

    \cos x=1~~\Rightarrow~~~ x=2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \cos x=\frac{1}{8}~~~\Rightarrow~~~ x=\pm \arccos\frac{1}{8}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}

    Отбор корней из промежутка принадлежащих [0;4π]:

    1. Для корня x=2\pi n,n \in \mathbb{Z}

    Если n=0 то x=0

    Если n=1 то x=2\pi

    Если n=2 то x=4\pi

    2. Для корня x=\pm \arccos\frac{1}{8}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}

    Если n=0, то x=\arccos\frac{1}{8}

    Если n=1, то x=\pm\arccos\frac{1}{8}+2\pi

    Если n=2, то x=-\arccos\frac{1}{8}+4\pi

    • Автор:

      baby doll
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years