Основание треугольника равно 14 см, а медианы, проведенные к боковым сторонам — 3 корень из7 и 6 корень из7 . Найти боковые стороны треугольника.

Пусть дан т-к АВС. 

Продлим медианы на их длину ( см. рис)

По свойству диагоналей параллелограмма 

АА1²+ВС²=2(АВ²+АС²)

и

СС1²+АВ²=2(АС²+ВС²)

Пусть АВ=с, ВС=а

Составим систему уравнений:

[(2*6√7)²+a²=2(c²+14²)

[(2*3√7)²+c²=2(14²+a²)

⇒ 

[ а²-2с²=2*14² -144*7 

[-2а²+с²=2*14²-36*7 домножим на 2 обе стороны этого уравнения.

Сложим уравнения системы:

[а²-2с=2*14² -144*7 

[-4а²+2с²=4*14²-72*7

-3а²=6*14²-216*7⇒

а²=112

а=4√7

Подставим найденное значение а в уравнение 

а²-2с²=2*14² -144*7 ⇒ 

112+144*7-2*196=2 с²

с²=364

с=2√91

АВ=2√91

ВС=4√7 

---------

Задачу можно решить по т. косинусов.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Тогда АО=4√7, CO=2√7

Из ∆ АОС 

АС²=АО²+СО²-2*АО*СО*cos ∠АОС

cos ∠АОС=(АС²-АО²+СО²):(-2*АО*СО)

cos ∠АОС=[14²-(4√7)²-(2√7)²]:[-2*(4√7)*(2√7]

cos ∠АОС= -56:2*56= -1/2 - это косинус 120º

В ∆ СОК ∠ СОК =180°-120°=60°

ОК=АК:3=2√7

ОК=ОС, угол СОК=60°⇒

∆ СОК - правильный, СК=2√7, 

ВС=2 СК=4√7

В Δ АМО ∠ МОА=∠ СОК=60°

АМ²=МО+АО-2*МО*АО*cos∠АОМ

АМ²=(√7)²+(4√7)²-2*(√7)*(4√7)*1/2*cos∠АОМ

АМ²=7+16*7-2*4*7*1/2

АМ²=91

АМ=√91

AB=2√91