пусть S(n) обозначает сумму всех цифр натурального числа n. найти все решения уравнения n+S(n)=2010

  Заметим что если  справа число делиться на 3 , то и слева тоже .   Воспользуемся известным свойством , делимости на 3 , число делиться на 3 , тогда и только  тогда когда сумма его цифр делиться на 3.     Положим пусть   , где   натуральные числа , тогда     откуда  должно делиться на 3 .    очевидно что какие не были   , число все равно будет двузначным , исходя из оценки этих чисел .  Пусть   откуда число равно    Далее можно проверить по остаткам , и убедится что это единственное решение