На графике функции y=x в квадрате найдите точку М, ближайшую к точке А (0;1,5)

заведём себе маленькую окружность радиуса r с центром в точке А

x^2 + (y-3/2)^2 = r^2

и будем искать при каком минимальном r эта окружность пересекается с параболой y = x^2

подставляем x^2 = y в ур-е окружности:

y + (y-3/2)^2 = r^2

y + y^2 - 3y + (3/2)^2 = r^2

y^2 - 2y + 1 = r^2 - (3/2)^2 + 1

(y - 1)^2 = r^2 - (3/2)^2 + 1

левая часть неотрицательна, значит минимальному r>0 соответствует y=1

соответственно касание происходит в точках (-1,1) и (1,1)