ассматривается линейная функция у = ах+Ь.

При каких значениях а и b ее график:

а)    проходит через начало координат;

б)    проходит через начало координат и точку М(— 1; 3);

в)    параллелен графику функции у = Зх + 5;

г)    отсекает на осях координат равные отрезки;

д)    является биссектрисой координатного угла третьей четверти;

е)    проходит через точки М(3; 8) и N (4; 8);

ж)    проходит через точки К(3; 5) и N ( — 3; 7);

з)    проходит только через те точки, координаты которых имеют один знак;

и)    не проходит через точки, обе координаты которых положительны?

а)Ясно, что если график некоторой линейной функции проходит через начало координат, то это прямая пропорциональность, задаваемая формулой y = ax. Значит, b = 0, а a ≠0. если a = 0, то получим функцию y = 0, совпадающую с осью ox.

б)Мы видим, что раз прямая должна проходить через начало отсчёта, то это прямая пропорциональность, формула которой y = ax. b = 0 явно. А коэффициент a найду из равенста, подставив координаты точки M в формулу:

3 = -a

a = -3

в)Если график данной функции параллелен графику функции y = 3x+5, то это означает, что угловой коэффициент a у них должны быть равными, а b должны быть различными. Значит, a = 3, b ≠5

 пункт и

Рассмотрим сначала случай, когда у данной функции b=0, то есть это - прямая пропорциональность. Мы знаем, что обе координаты положительны только для точек, расположенных в 1 четверти. Следовательно, данная прямая не может проходить через неё. Отсюда следует, что она не может проходить через 3 четверть. начит, прямая проходит через 2 и 4 четверть, то есть, образует с прямой ox тупой угол(с положительным направлением). значит, a<0, b=0. При этом, a может быть равно 0, так как в таком случае мы рассматриваем функцию y = x, которая может проходить через точки вида (x;0), а 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Теперь рассмотрю случай, когда b ≠ 0. Понятно, что прямая не будет проходить через первую четверть лишь в том случае, если график образует с положительным направлением оси ox тупой угол, то есть, если a<0. При такой ориентации прямой ясно, что прямая пересечёт oy лишь в отрицательной ординате. значит, b < 0

Значит, прямая не проходит через положительные координаты при a≤o, b≤0

пункт е.раз прямая проходит через эти точки. то их координаты должны одновременно удовлетворять формуле y = ax + b

Теперь подставлю эти координаты в эту формулу и составлю систему уравнений:

                    3a + b = 8

                    4a + b = 8

Решу её методом сложения:

                      -3a-b = -8             a = 0

                       4a + b = 8            b = 8

То есть, это прямая y = 8

пункт ж

подставим опять координаты в формулу, и составим систему уравнений:

                         3a + b = 5          2b = 12                     b = 6

                         -3a + b = 7         3a+b = 5                   a = -1/3

Значит, это прямая y = -1/3x + 6

пункт д

Эту задачу можно решить различными способами. Я предлагаю следующий. Поскольку данная прямая является биссектрисой координатного угла, то она проходит исключительно через начало координат, то есть это прямая пропорциональность. y = ax. Значит, b=0

Теперь мы знаем. что координатный угол равен 90°, так как оси перпендикулярны друг другу.  Биссектриса составляет с положительным направлением оси OX угол 45°(по свойству биссектрисы). Так как прямая пропорциональность проходит через 3 четверть, то она проходит и через 1 четверть. Мы узнали, что угол между прямой и положительным направлением  оси OX равен 45 градусам. a - угловой коэффикиент, он равен тангенсу данного угла, значит a = tg 45° = 1.

Поэтому, речь здесь идёт прямой y=x