ДАЮ 50 БАЛЛОВ!Помогите! Сколько корней имеет уравнение sin^2 x+ cos^2 2x+ cos^2(п/2+2x)cosxtgx=1 на промяжутке(0;2п) ? Сначала по форм приведения, потом упростить , представить в виде квадратного уравнения, посчитать его корни и дальше через производные. Я застрял на квадратном, не получается корни посчитать. помогите - Дата: 24.12.2019, Автор: ramblertqc0

Ответы 1

$sin^2x+cos^22x+cos^2(\frac{\pi}{2}+2x)cosxtgx=1\\\\ sin^2x+cos^22x+sin^22x*sinx=1\\\\ sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x*cos^2x*sinx=1\\\\$ $sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x*cos^2x*sinx=1\\\\ sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x(1-sin^2x)*sinx=1\\\\ sinx=t\\\\ t^2(1-2t^2)^2+4t^2(1-t^2)*t=1\\\\ (t^2-1)(4t^4-4t^3+1)=0\\\\ t=+-1\\\\ 4t^4-4t^3+1=0\\\\$ Рассмотрим функцию $f(t)=4t^4-4t^3+1 \\\\ f'(t)=16t^3-12t^2\\\\ 16t^3-12t^2=0\\\\ 4t^2(4t-3)=0\\\\ t=0\\\\ t=\frac{3}{4}\\\\$ Так как область определения функция $t \in (-\infty;+\infty)$ , на отрезке $t \in (-\infty;\frac{3}{4}]\\\\ f'(t)<0$ , на отрезке $t \in [ \frac{3}{4};+\infty)\\\\ f'(t)>0$ возрастает . Следовательно минимальное значение функций $f(\frac{3}{4}) = \frac{37}{64}$ . График не будет пересекать ось $Ot$ . Корни уравнения будут $t=+-1$ $x=\pi\*k$ откуда решения $x \in \pi;$
- Автор:
  busterweaver
- 4 года назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы