Исследовать функцию y=32×х²×(х²-1)³

1) Область определения от минус беск. до плюс беск.

2) Пересечение с абсциссой при х=-1;0;1

3) ...с осью ординат при y=0

4) пределы при стремлении к беск. равны беск.

5) Функция четная

6) Производная 64x(x²-1)³+192x³(x²-1)²

7) Нули производной x=-1;-0,5;0;0,5;1

8) Возрастает при х от -0,5 до 0 и от 0,5 до беск. включая все компоненты

9) Убывает при х от минус беск. до -0,5 и от 0 до 0,5

10) Минимальное значение х=-27/8

11) Максимальное - беск.

1) нули функции (0;0) (1;0) (-1;0)

2)функция определена на всей числовой оси

3)область значения вся числовая ось

4) у(-x)=32*)-x)^2*((-x)^2-1)^3=32x^2*(x^2-1)^3=y(x)

функция четная.

5)y'=64x(x^2-1)^3+192x^3(x^2-1)^2=64x(x^2-1)^2((x^2-1)+3x^2)=0

4x^2-1=0

x=0

x=1

x=-1

x=1/2

x=-1/2

на отрезке 0<x<1/2 U х<-1/2 функция убывает

на отрезке -1/2<x<0 U x>1/2 функция возрастает

в точках х=-1/2  х=1/2 функция имеет минимум

в точке х=0 максимум

6)

3(x^2-1)^3+6x^2(x^2-1)^2+9x^2(x^2-1)^2+12x^4*(x^2-1)=

=3(x^2-1)^3+15x^2(x^2-1)^2+12x^4(x^2-1)=0

x1=1

x2=-1

4x^4+5*x^2(x^2-1)+(x^2-1)^2=0

4x^4+5x^4-5x^2+x^4+1-2x^2=10x^4-7x^2+1=0

x^2=t

10t^2-7t+1=0

t1=(7+sqrt(49-40))/20=1/2   x3=sqrt(2)/2   x4=-sqrt(2)/2

t2=(7-3)/20=1/5    x5=sqrt(5)/5  x6=-sqrt(5)/5

функция имеет шесть точек перегиба x1....x6