вычислить площадь фигуры ограниченной линией y=3x^2, y=12x

Площадь находим по формуле Ньютона-Лейбница. Для этого сначала найдем точки пересечения данных функций  3х^2=12x

                                                x^2=4x

                                                x=0 или х=4

S= интеграл от 0 до 4 (12х-3x^2)dx=6x^2-x^3=96-64=32 ед.кв

Найдём пределы интегрирования. Это координты х точек пересечения графиков функций y1 =3x² и y2=12x.

3x² = 12х

3x² - 12х = 0

3х(х - 4) = 0

х₁ = 0 - это нижний предел.

х₂ = 4 - это верхний предел.

Поскольку а интервале х [0; 4] 12x ≥ 3x² , т.е. график функции у2 проходит выше графика функции у1, то для нахождения площади будем вычислять интеграл от разности у2-у1

∫(12x -3х²) dx = 6х²- x³.

Подставим пределы:

S = (6·4²- 4³) -(6·0²- 0³) = 96 - 64 = 32