Исследовать экстремумы на

Исследовать экстремумы на функции

1.y=x^3-6x^2

2.y=x^4-4x^3

3.y=x^3/3+x^2-3x+5

4.y=2x^3-9x^2-60x+1

5.y=x^4+2x^2+1
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  keeshacalderon
- 6 лет назад

Ответы 2

Красота она величественна!
- Автор:
  islashields
- 6 лет назад
- 0
Экстремум - максимальное или минимальное значение функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.А теперь решение:1) $\displaystyle y=x^3-6x^2$ необходимое условие экстремума функции одной переменной- в этой точке первая производная функции должна обращаться в нуль. Найдем производную $\displaystyle y`=(x^3-6x^2)`=3x^2-12x$ приравняем ее к нулю $\displaystyle 3x^2-12=0\\3x(x-4)=0\\x_1=0; x_2=4$ у нас две точки экстремума. Определим теперь какие это точки (максимума или минимума)- Точка x₀ называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≤f(x₀) - Точка x₀ называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≥f(x₀)Как это выглядит на решении?нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки- экстремумы и проверим знак производной на полученных интервалах: + - +------- 0 ------------ 4 -----------Значит на промежутке (-оо;0) функция возрастает на промежутке (0;4) - убываетна промежутке (4;+оо) - возрастаетЗначит х=0 точка максимумазначит х=4 точка минимумаЗначение функции в точке х=0 $\displaystyle y(0)=0$ - максимальное значениезначение функции в точке х=4 $\displaystyle y(4)=4^3-6*4^2=64-96=-32$ -минимальное значениеДалее решает по аналогии2) $\displaystyle y=x^4-4x^3$ найдем точки экстремума $\displaystyle y`=(x^4-4x^3)`=4x^3-12x^2$ $\displaystyle 4x^3-12x^2=0\\4x^2(x-3)=0\\x_1=0; x_2=3$ + - +----- 0 --------- 3 ------------ на промежутке (-оо;0) и (3;+оо) - возрастаетна промежутке (0;3) убываетх=0 точка максимума $\displaystyle y(0)=0$ максимальное значение функциих=3 точка минимума $\displaystyle y(3)=3^4-4*3^3=81-108=-27$ минимальное значение функции3) $\displaystyle y= \frac{x^3}{3}+x^2-3x+5$ $\displaystyle y`=( \frac{x^3}{3}+x^2-3x+5)`=x^2+2x-3$ $\displaystyle y`=0\\x^2+2x-3=0\\D=4+12=16=4^2\\x_1=1: x_2=-3$ + - +------ - 3 ------- 1 ----------на промежутке (-00;-3) и (1;+оо) возрастаетна промежутке (-3;1) убываетх= -3 точка максимума $\displaystyle y(-3)= \frac{(-3)^3}{3}+(-3)^2-3*(-3)+5=-9+9+9+5=14$ минимальное значениеx=1 точка минимума $\displaystyle y(1)= \frac{1}{3}+1-3+5= 3 \frac{1}{3}$ минимальное значение4) $\displaystyle y=2x^3-9x^2-60x+1$ $\displaystyle y`=(2x^3-9x^2-60x+1)`=6x^2-18x-60$ $\displaystyle y`=0\\ 6x^2-18x-60=0\\6(x^2-3x-10)=0\\D=9+40=49=7^2\\x_1=-2; x_2=5$ + - +------- - 2 -------- 5 --------на промежутке (-оо;-2) и (5;+оо) возрастаетна промежутке (-2;5) убываетточка х=-2 точка максимума $\displaystyle y(-2)=2*(-2)^3-9*(-2)^2-60*(-2)+1=69$ максимальное значениеточка х=5 точка минимума $\displaystyle y(5)=2*5^3-9*5^2-60*5+1=250-225-300+1=-274$ минимальное значение5) $\displaystyle y=x^4+2x^2+1$ $\displaystyle y`=(x^4+2x^2+1)`=4x^3+4x$ $\displaystyle y`=0\\4x^3+4x=0\\4x(x^2+1)=0\\x=0$ - +-------------- 0 ----------------на промежутке (-оо;0) убываетна промежутке (0;+оо) возрастаетx=0 точка минимума $\displaystyle y(0)=1$ минимальное значение функции
- Автор:
  jazlynna5r8
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ