Найти общее решение дифференциального уравнения [tex]a(x)y^{'}+b(x)y=f(x)[/tex] и

Найти общее решение дифференциального уравнения [tex]a(x)y^{'}+b(x)y=f(x)[/tex] и частное решение, удовлетворяющее начальному условию [tex]y=y_{0}[/tex] при [tex]x=x_{0}[/tex]

[tex]xy^{'}+2y=\frac{1}{x}[/tex] [tex]y_{0}=1, x_{0}=3[/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  karsyn
- 6 лет назад

Ответы 1

Сначала разделим левую и правую часть уравнения на x, получим:

$y'+\frac{2}{x}y=\frac{1}{x^2}$

Решим сначала однородное уравнение, вида:

$y'+\frac{2}{x}y=0$

Это уравнение с разделяющимися переменными, получаем: $\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=0$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{x}y$

$\frac{dy}{y}=-\frac{2}{x}dx$

Берем интеграл от обоих частей получаем:

$\int{\frac{dy}{y}}=-\int\frac{2}{x}dx$

$ln(y)=-2ln(x)$

$y=\frac{C}{x^2}$

Дальше методом вариации свободной постоянной ищем частное решение неоднородного уравнения:

Представляем C как функцию от х, т.е C=C(x) и подставляем выражение $y=\frac{C(x)}{x^2}$ в исходное уравнение. Получаем:

$\frac{xC'(x)-2C(x)}{x^3}+\frac{2}{x}\frac{C(x)}{x^2}=\frac{1}{x^2}$

Сокращаем подобные и прочее, получаем:

$\frac{C'(x)}{x^2}=\frac{1}{x^2} \\ C'(x)=1 \\ C(x)=x$

Подставляем получившееся значение C(x) в выражение $y=\frac{C}{x^2}$ и получаем частное решение $y=\frac{1}{x}$

В итоге общее решение неоднородного уравнения это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Т.е.

$Y=\frac{C}{x^2}+\frac{1}{x}$

Все, уравнение решено. Теперь решаем задачу Коши:

Т.к. $y_0=1\\x_0=3$

то приходим к уравнению $1=\frac{C}{9}+\frac{1}{3}\\ \frac{C}{9}=\frac{2}{3}\\ C=6$

Все, нашли С, теперь пишем решение задачи Коши:

$Y_0=\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x}$

Ответ: Общее решение дифференциального уравнения:

$Y=\frac{C}{x^2}+\frac{1}{x}$

Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющиего начальному условию $y_0=1, x_0=3$ :

$Y_0=\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x}$
- Автор:
  katelyn1ek7
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ