Найдите точку максимума функции:

[tex]y = -\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 3x + 1[/tex]

Пожалуйста, с подробнейшим решением.

Находим производную

y'=-2/3*3/2sqrt(x)+3=-sqrt(x)+3

находим критическую точку приравняв к нулю произодную

y'=0

x=9

проверяем что точка является точкой максимума, для чего находим вторую производную

y''=-1/2sqrt(x)<0

она меньше нуля поэтому в точке имеется максимум.

y(9)-max=-2/3*27+27+1=10

Для исследования функции сначала нужно взять производную. Чтобы проще было взять воспользуемся формулой сложения степеней: 

Получим что:  

Теперь перепишем функцию:

И берем производную:

Дальше найдем точку где производная обращается в 0.

Для этого решаем уравнение:  

Это будет точка экстремума. Но точка экстремума может быть как минимумом так и максимумом. Надо показать что это максимум. Как это делается. Есть 2 метода.1 метод:

Рассмотрим как ведет себя производная при x<9 и при x>9.  Очевидно, что при x>9 производная  . Значит функция растет. При x>9, наоборот  . Значит функция убывает. Если до точки х=9 функция растет, а после нее убывает, то получается что это максимум функции

2 метод:

Возьмем вторую производную от исходной функции получим . Для любых положительных х, вторая производная будет меньше нуля, т.е y''<0. Это необходимое и достаточное условие, чтобы функция была выпуклой вверх. Т.к. функция выпулкая вверх, то точка экстремума будет точкой максимума. ч.т.д

Ответ: точка максимума x=9, значение функции в этой точке y(9)=10