Возраст мужчины составляет двухзначное число , а возраст сына составляет сумм цифр этого числа . Вместе, отцу и сыну сейчас 67 лет , сколько лет сыну ?

Пусть х - число десятков , а у - число единиц в возрасте мужчины. Его возраст (10х + у), а возраст его сына равен (х + у).

Составляем уравнение: (10х + у) + (х + у) = 67

9х + 2(х + у) = 67

х + у = 0,5(67 - 9х)  -возраст сына.

Наложим ограничения:

1) х<10

2) х -не должно быть чётным числом, иначе х + у  будет нецелым

3) у<10.

Из х + у = 0,5(67 - 9х) получим

у = 0,5(67 - 9х) - х = 0,5((67 - 9х - 2х) = 0,5((67 - 11х)

решим неравенство

0,5((67 - 11х) < 10

67 - 11х < 20

11х > 47

х > 4,27, 

С учётом того, что х -целое положительное число, имеем

х > 4

4) х+ у > х - это очевидно, поэтому справедливо неравенство 0,5(67 - 9х) > х

67 - 9х > 2х

11х < 67

х < 6,09

т.е.

х < 6

В границах х∈(4;6) есть только одноцелое число х = 5.

Тогда у = 0,5((67 - 11·5) =  6

И возраст сына х + у = 5 + 6 = 11

Ну, и заодно: возраст отца 56 лет

Ответ: сыну 11 лет

Довольно интересная задача, которая наверняка имеет множество решений, постараюсь поподробнее изложить своё.

Итак, возраст отца определяется двузначным числом a1a0, где a1 и a0 - цифры данного числа.

Представим данное число в виде разложения на слагаемые, по формуле перевода чисел в десятичную систему счисления:

a1a0 = a0 * 10^0 + a1 * 10^1 = a0 + 10a1.

Суммарный возраст отца и сына равен 67, запишем это в виде уравнения с двумя неизвестными:

a0 + a1 + a0 + 10a1 = 67

2a0 + 11a1 = 67, мы получили диофантово уравнение, которое требуется решить в натуральных числах, так как возраст - величина положительная.

Решим с использованием следующей системы неравенств:

Решая получаем, что a1 < 6, а a0 < 33.

Интервал значений a0 слишком велик, поэтому будет отталкиваться от значений a1.

Теперь дело остаётся за банальным перебором:

Если a1 = 1, то возраст отца равен 128, что невозможно.

Если a1 = 2, то уравнение 2a0 + 11a1 = 67 в решении не нуждается, так как при подстановке получим, что сумма чётных чисел равна числу нечётному, что невозможно. Впредь будем рассматривать только те значения a1, которые не кратны двум.

Если a1 = 3, то возраст отца равен 317, что невозможно.

Значение 4 кратно 2, а значит заранее не подходит.

В итоге мы пришли к единственному оставшемуся значению - это 5, оно и будет решением данного уравнения, проверим это.

2a0 + 55 = 67

2a0 = 12

a0 = 6

Возраст отца равен 56, тогда возраст сына - 11.

Искомый ответ: 11.