Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Докажите, что при любом натуральном n, большем 1,выражение [tex]7^{2n}-4^{2n}-297[/tex] делится на 264

Ответы 1

  • 264=33*8

    Докажем, что выражение 7^{2n}-4^{2n}-297 кратно 33 и 8.

    Преобразуем: 7^{2n}-4^{2n}-297=49^n-16^n-33*9=(49-16)(49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33\cdot (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9)

    То есть 7^{2n}-4^{2n}-297 кратно 33.

    Рассмотрим второй множитель, состоящий из нескольких слагаемых (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33\cdot (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) . Все слагаемые, которые содержат множитель 16 в той или иной степени, кратны 8.

    Обратимся к тем слагаемым, которые не содержат такого множителя, то есть к разности 49^{n-1}-9.

    Преобразуем 49^{n-1}-9=7^{2(n-1)}-9=((8-1)^2)^{n-1}-(8+1)=(8^2-2\cdot8+1)^{n-1}-(8+1)=64^{n-1}-16^{n-1}+1^{n-1}-8-1=64^{n-1}-16^{n-1}-8. Каждое из алгебраических слагаемых делится на 8, значит, разность 49^{n-1}-9 также кратна 8.

    Следовательно, множитель (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33\cdot (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) кратен 8.

    Таким образом выражение 7^{2n}-4^{2n}-297 кратно 33 и 8, то есть кратно 264, ч.т.д..

     

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years