1/(sqrt(2)+1))+1/(sqrt(3)+sqrt(2))+1/(sqrt(4)+sqrt(3))+...+1/(sqrt(100)+sqrt(99))

Это очень простое задание, достаточно увидеть, что

1/(sqrt(N+1)+sqrt(N))=(sqrt(N+1)-sqrt(N))/(N+1-N)=sqrt(N+1)-sqrt(N)

(просто домножили числитель и знаменатель на разность радикалов и применили формулу разности квадратов)

Вот и всё!! Дальше устно, потому что понятно, что все "внутренности" взаимно уничтожаются

...=sqrt(2)-1  +  sqrt(3)-sqrt(2)  + ... + sqrt(99)-sqrt(98)  + sqrt(100)-sqrt(99)=

sqrt(100)-1=10-1=9.

Если в общем случае(вместо 100 -> N), то ответ будет (sqrt(N)-1)