1.Решить уравнение: cos3x=sin5x

2.Найти все корни уравнения sin2x+16cos^{2}x=4[/tex],принадлежащие отрезку [tex][\pi/4;3\pi/2][/tex]

 

1. cos3x=sin5x

Или с применением формулы приведения:

sin5x - sin(pi/2 -3x) = 0

Из формулы разности синусов:

2sin[(5x-pi/2 + 3x)/2]*cos[(5x+pi/2 - 3x)/2] = 0

Разбиваем на два уравнения:

sin(4x- pi/4) = 0                 cos(x+ pi/4) = 0

4x- pi/4 = pi*k                    x+ pi/4 = pi/2 + pi*n

x = pi/16 + pi*k/4                x = pi/4 + pi*n

Ответ: pi/16 + pi*k/4 ;   pi/4 + pi*n;   k,n  принадл. Z

2. sin2x + 16cos²x = 4

Пользуясь формулой синуса двойного угла и основным тождеством приведем данное уравнение к однородному второй степени:

2sinx*cosx + 16cos²x - 4(sin²x+cos²x)=0

2sin²x - sinx*cosx - 6cos²x = 0

Делим на cos²x:

2tg²x - tgx - 6 = 0,   tgx = t

2t² - t - 6 = 0

D = 1 + 48 = 49 = 7²

t₁ = (1+7)/4 = 2

t₂ = (1-7)/4 = - 1,5

tgx = 2                              tgx = -1,5

x = arctg2 + πk                   x = -arctg1,5 + πn

Подбираем корни из заданного промежутка:

arctg2; π - arctg1,5;  π + arctg2